Descargar 90.73 Kb.


Página1/3
Fecha de conversión25.10.2018
Tamaño90.73 Kb.

Descargar 90.73 Kb.

To be or not to be o El principio del tercero excluido


  1   2   3


To be or not to be o El principio del tercero excluido


Los poetas no enloquecen; los jugadores de ajedrez sí. Los matemáticos enloquecen, los artistas creadores muy rara vez. En ningún sentido, como se verá más adelante, estoy atacando a la lógica. Lo único que estoy diciendo es que el peligro de enloquecer reside ahí y no en la imaginación.

Gilbert Keith Chesterton

De cómo la lógica se volvió tolerante


Maruxa Armijo

maruxa@servidor.unam.mx

(una propuesta didáctica para que el maestro de lógica, después de llevar al alumno para arriba y para abajo, lo enseñe ahora a ir también para los lados)


Bertrand Russell dijo una vez, que el objetivo de la filosofía es partir de algo tan simple que parezca indigno fijarse en ello y terminar con algo tan paradójico que nadie lo crea.
La palabra principio significa origen o “punto de partida”. Viene del latín primum caput = “el que encabeza”. Los principios lógicos están en el origen de la demostración como condiciones necesarias y verdades evidentes. No se discuten ni requieren demostración.
Los principios que gobiernan la maquinaria de la deducción lógica fueron establecidas por Aristóteles hace más de 2300 años y en la lógica tradicional son tres: identidad, no-contradicción y el tercero excluido. Los tres son tan obvios que pareciera indigno fijarse en ellos.
El principio de identidad afirma que toda cosa es igual a sí misma. A es A. De P siempre se infiere P. Según el principio de no-contradicción ninguna cosa puede ser y no ser. A no puede ser B y al mismo tiempo no ser B. Dos proposiciones contradictorias (P y -P) no pueden ser las dos verdaderas.
Al principio del tercero excluido la lógica tradicional lo formuló así: o A es B o A no es B. Ahora lo leemos del siguiente modo: o bien P es verdadera, o bien su negación (-P) lo es. Entre dos proposiciones contradictorias no hay una tercera posibilidad, la tercera está excluida.
Estos principios fundamentales de la lógica se identificaron con las leyes del pensamiento y por lo tanto, no se cuestionaron. Dicho de otra manera, no se cuestionaron simplemente porque eran incuestionables. Ya lo decía sutilmente Aristóteles: no se puede desatar al que no se ha dado cuenta que está atado.
Así como la geometría euclideana era la única geometría posible y asombraba por su exacta aplicabilidad a la realidad, así estas leyes aristotélicas describían con exactitud la única manera correcta de pensar.
Pero en la primera mitad del siglo 19, después de una complicada serie de pruebas e intentos alrededor del famosos postulado de las paralelas (postulado 5 del Libro I de Euclides), el matemático ruso Nicolás Ivanovich Lobachevski (1793-1856) construyó una geometría en la que resultaba falso el 50postulado de Euclides. Lobachevski, Gauss y Bolyai llegaron a la conclusión de que la geometría euclideana no era sino una entre varias geometrías que se distinguen entre sí porque cada una parte de un conjunto particular de axiomas cuya validez exige solamente consistencia.
La geometría de Euclides dejó de ser la geometría para convertirse en una más. Este descenso de la geometría euclideana de su categoría de “única” minó el status de invulnerabilidad del que gozaba la lógica pues algunos lógicos comenzaron a pensar que, aún cuando estas tres sencillas leyes correspondiesen con exactitud a nuestra manera de razonar, eso no las revestía de ningún carácter especial. El histórico caso de las paralelas sirvió de escarmiento contra las prohibiciones apriorísticas; las leyes de la lógica dejaron de ser inviolables y los tres principios básicos fueron desafiados en nuevos sistemas explorados por los lógicos. Pero fue el tercero, el llamado principio del tercero excluido, tercio excluso o tertium non datur el que fue sometido a mayor escrutinio; de él vamos a platicar un rato hoy.
Pero antes, quisiera señalar el carácter reflexivo y pedagógico -más que erudito o académico- de esta comunicación, e invitarlos a repensar este principio: qué significa, cuándo se aplica, cuáles son los mejores modos de comunicar su contenido y dónde buscar los materiales más adecuados para presentarlo y explicarlo en un salón de clases.
De entrada, sugiero que el camino sea aristotélico en el sentido de primero ir al encuentro del principio del tercero excluido en lo que es más conocido para nosotros, i.e., en la lógica formal y clásica, con plena carta ya de disciplina científica y tal como se imparte en los primeros cursos de la enseñanza media y superior[1]; y después dirigirnos a lo que, si bien no estoy segura de que sea más conocido por la naturaleza, sí es menos conocido para nosotros: las “otras” lógicas o lógicas no-clásicas. Al final, el maestro le abrirá al alumno la puerta de acceso a las vicisitudes de los protagonistas humanos de esta extraña y singular historia acerca de la tolerancia lógica.[2] la intolerancia humana y el principio del tercero excluido. Ella dará testimonio de que la lógica no es la divina contemplatriz de la vida, serena e inmutable; eternamente ajena a las tragedias humanas.
Cada vez es menos extraño encontrar libros de textos y tratados de lógica con algún capítulo -generalmente al final- dedicado a las lógicas no clásicas. Son lógicas que difieren en algún rasgo de la lógica clásica, y por esta razón habría que entender aquéllas contra el fondo de ésta.
En el cálculo proposicional clásico que se enseña hoy en las escuelas de educación media y superior, todo enunciado tiene dos, y sólo dos, posibles valores de verdad: verdadero o falso. P o -P. El principio del tercero excluso hace a la lógica una lógica bivalente. Dicho sea de paso, en este supuesto se apoyan todas las demostraciones matemáticas por reducción al absurdo (que son muchísimas).
A principios de los años veintes, algunos lógicos como Emil Post y los polacos Jan Lukasiewicz y Alfred Tarski hicieron a un lado el principio del tercero excluso y mostraron que era posible construir sistemas lógicos trivalentes perfectamente consistentes. En la actualidad hay más de tres mil versiones. Estos sistemas, a los valores “verdadero” y “falso”, han añadido el antes excluido del tradicional sistema binario, ahora incluido en los nuevos sistemas y lo llamaron “indeterminado”, “dudoso” o “incierto”.
A partir de entonces se han venido inventado sistemas polivalentes con más de tres valores de verdad e incluso se han construido sistemas con infinitos valores de verdad, lo cual parece indicar que el principio del tercero excluido no estaba escrito en el Cielo.
Junto a estas lógicas tri y polivalentes que se presentaron como extensiones de la lógica clásica apareció una que se presentó a sí misma no como una extensión sino como alternativa y un desafío a ella: la lógica intuicionista derivada de la filosofía de las matemáticas del matemático y filósofo holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (nace en 1881 y muere en un accidente de carretera en 1966).
Las aplicaciones de la lógica en las matemáticas son tan obvias que no necesitan ser defendidas: fueron las matemáticas las que dieron lugar a la lógica matemática o lógica moderna, después llamada lógica clásica o standard.
Los logicistas consideraron que la matemática era parte de la lógica y buscaron en ésta, la garantía para aquélla. Para eso nació la lógica matemática, para proveer de cimientos al edificio de las matemáticas y afianzar su construcción. A este proceso se le conoce como la historia de la “fundamentación lógica de las matemáticas”.
Que la lógica proposicional clásica -bivalente y sin functores intensionales- junto con el cálculo de predicados de primer orden con igualdad, y la teoría de conjuntos, son suficientes para la formalización de (casi) todo el razonamiento matemático es algo aceptado hoy en día (casi) por unanimidad. Queda, sin embargo, el problema de si basta para la formalización de cualquier razonamiento -y en particular de los argumentos filosóficos- en lenguaje natural. Es así que el desarrollo de las lógicas no clásicas estuvo motivado, o bien por la necesidad de acercar la lógica al lenguaje natural (por ejemplo, las lógicas relevantes o las paraconsistentes), o bien por el deseo de hacer más precisas ciertas ideas filosóficas vía conceptos lógicos (por ejemplo las lógicas polivalentes), o ambas cosas (por ejemplo las distintas lógicas modales -alética, doxástica, deóntica, epistémica, temporal, etc.). [3]
No es el caso del intuicionismo y la lógica intuicionista. Porque Brouwer no acepta que la lógica clásica sea suficiente para formalizar el razonamiento matemático; de hecho, ni siquiera acepta que sea necesaria. El objetivo del primer capítulo de su disertación doctoral (Amsterdam, 1907) fue mostrar
que nuestro razonamiento es razonamiento matemático, que el razonamiento matemático no es razonamiento lógico ni necesita de su intermediación, [...] que tal vez sólo por inercia las matemáticas mantienen vivo el lenguaje que acompaña al razonamiento lógico ya que su uso ha desembocado, en la vida común y corriente en toda clase de malentendidos, y en las matemáticas en las falsas nociones de la Teoría de Conjuntos. Estas nociones surgieron como consecuencia de que las matemáticas hacen uso del lenguaje del razonamiento lógico, a pesar de que nuestro razonamiento no es lógico sino matemático, algo totalmente distinto [...] El lenguaje no juega otro papel que el de memorizar las construcciones matemáticas, de tal suerte que la lógica por sí misma es incapaz de crear nuevos sistemas matemáticos e incapaz también de deducir algún “estado de cosas matemático”.
El propósito del capítulo 2 fue mostrar
que la lógica no nos enseña nada del mundo, que únicamente está al servicio de abogados y demagogos, que no es un medio para enseñar a la gente sino para engañarla. […] El mundo no es un sistema lógico, y por lo tanto no podemos discutir acerca de él lógicamente [...], sabemos que las únicas disputas posibles son aquellas que pueden entablarse mediante el razonamiento matemático. La fundamentación de la matemática en la lógica, la teoría de conjuntos y los números transfinitos muestran el peligro de caer en un camino falso por hacer uso del razonamiento lógico.
Brouwer fue un rebelde. Pero fue también un brillante matemático, y sabía que sus protestas quedarían como un grito en el desierto si no convencía a sus colegas de su enorme capacidad como matemático y mostraba los errores que involucraban las otras filosofías. Por eso dedica cinco años de su vida (de 1907 a 1912) a la rama más joven de las matemáticas: la topología. Prácticamente él fue su creador. La calidad y cantidad de sus trabajos (nuevos teoremas, nuevos métodos, cientos de artículos y más de cuarenta trabajos mayores) además de ser una prueba contundente de su maestría en matemáticas, le proporcionaron un sólido prestigio internacional. Su genio y originalidad fueron reconocidos públicamente por Hilbert, Poincaré, Klein, Mannoury, Einstein (entre otros) y le valieron (1912) un professorship de su alma mater, la universidad de Amsterdam.
Una vez establecida su autoridad y asegurada su posición y economía, Brouwer regresa con nuevos ímpetus a su verdadero interés, su programa intuicionista. El resto de sus energías las concentrará Brouwer en una reconstrucción completa de las matemáticas y un ataque renovado contra los excesos del formalismo de Hilbert y del logicismo de Russell y asociados.
Brouwer fue un tipo extraño y brillante. Egocéntrico, catatónico y misántropo, se sentía a disgusto con todos los que entraban en contacto con él y prefirió aislarse por largos períodos de tiempo en una cabaña campestre que el personalmente construyó para recluirse a trabajar. A pesar de su falta de interés en la gente, Brouwer fue hipersensible y se involucró una y otra vez en interminables disputas, reales e imaginarias. Su ambición desmedida por el prestigio internacional y su desconfianza, casi patológica, hacia sus colegas, hicieron imposible cualquier cooperación. Brouwer convertía los debates académicos en batallas y a los amigos que no compartían sus ideas, en enemigos.
Su obra constituye el manifiesto de un matemático muy enojado porque siente amenazada la autonomía de las matemáticas por las pretensiones “fundacionistas” y colonizadoras de la lógica. Él quiere unas matemáticas libres y soberanas y luchará toda su vida por evitar que la lógica le imponga sus leyes. Por su origen, la matemática tiene con la lógica una relación indisoluble. Liberarla de ese pecado original fue el mérito de Brouwer.
Las críticas de Brouwer a las posiciones realistas de los logicistas se concentraron en la aplicación de la lógica clásica [proposicional y de predicados] a totalidades infinitas. Brouwer prohibió los infinitos como totalidades completas y prohibió asumir que una proposición es o verdadera o falsa antes de probar de un modo explícito o lo uno o lo otro.[4] Y en su búsqueda de errores matemáticos consecuencia del uso de principios lógicos, Brouwer centró su atención en el principio del tercio excluso y en el concepto de negación.
No siempre se entiende bien la filosofía de Brouwer; a veces, se cree que la lógica intuicionista es una lógica que niega el principio del tercio excluso y la doble negación.Eso no es verdad.
La recusación intuicionista de la ley del tercio excluso no debe entenderse como una negación de esta ley. Recusar no es negar. Recusar una ley es rehusarse a admitir su validez así sin más; es ponerle tachas y peros, es no anticiparse, es tener la precaución de decir: “vamos a ver si aquí sí o si aquí no”.
El intuicionismo no niega el tercio excluso o la doble negación, nos ofrece una nueva teoría de estos principios. [5]
El principio del tercero excluso no es para Brouwer una tautología sin sentido sino una extrapolación injustificada a conjuntos infinitos de un hecho que puede en general probarse para conjuntos finitos. Con este principio Brouwer ilustra su tesis: los principios lógicos no son confiables y en él se apoya para decirnos “no te fíes de la lógica, no necesariamente toda proposición representa una verdad demostrada o una falsedad probada”; i.e., una construcción o una refutación. La existencia de hipótesis no probadas y de problemas matemáticos no resueltos es una refutación del principio del tercero excluso.
Porque Brouwer no niega el principio del tercero excluso es que puede rechazarlo y al mismo tiempo afirmar la negación de la negación de esta ley:
— —(p v—p) sí vale
(p v—p) no vale
Aún menos hay que entenderla como afirmación de un tercer valor veritativo intermedio entre la verdad y la falsedad. La lógica intuicionista no es una lógica trivalente.
Como consecuencia a su recusación del principio del tercero [m1] excluso, Brouwer rechaza lo que describe como “casos particulares” de este principio: que verdad y no contrariedad o absurdidad de absurdidad, sean equivalentes (la complementariedad verdad/absurdidad) y la prueba indirecta o demostración por reducción al absurdo.
Su original enfoque de la negación, llevó a Brouwer a resultados muy interesantes, incluso -y muy a su pesar- en el campo de la lógica. Su interpretación estricta de la negación o "absurdidad", generó una nueva lógica: el "cálculo de absurdidades" o lógica de Brouwer.
En general la doble negación de una proposición es más débil que la proposición misma,
—(—p)® p no es válido en la lógica intuicionista
aunque p® —(—p), sí lo es;
pero la triple negación de una proposición sí es equivalente a su simple negación,
—(—(—p)) « --p
En palabras de Brouwer:
“absurdidad de absurdidad de absurdidad es equivalente a absurdidad”
La prueba por reductio ad absurdum es un ejemplo de razonamiento lógico (ergo, no matemático) y, por ende, es una muestra de un modo falaz de razonar. Si queremos demostrar p y suponemos —p y llegamos a una contradicción, no hemos demostrado p -dice Brouwer. Lo que hemos encontrado es una refutación de —p, es decir, hemos demostrado —(—p), pero de ahí no podemos inferir p.
El rechazo de la complementariedad de verdad y absurdidad obviamente invalida la equivalencia clásica — —p « p pues
— —p ® p no es válido, aunque p® — —p sí lo es.
Es decir, el intuicionismo acepta la refutación pero no la prueba por RAA.[6]
Ejemplos:
¿Existe en la expansión decimal de p (3.14159…) un dígito más frecuente?
No tenemos ni una prueba ni una refutación.
El número de parejas de dígitos iguales en la expansión decimal de p,
¿es finito or infinito?
No tenemos ni una prueba ni una refutación.
La secuencia 123456789 ¿aparece o no aparece en la expansión decimal de p?
Por el momento, no tenemos ni una prueba ni una refutación.
Por la ley del tercero excluido son verdaderas las proposiciones que dicen que o bien existe en la expansión decimal de p un dígito más frecuente o bien no existe; o bien el número de parejas de dígitos iguales en la expansión decimal de p es finito o bien es infinito.
En particular, por la ley del tercero excluido es verdadera la proposición que dice que la secuencia 123456789 o bien aparece, o bien no aparece en alguna posición de la expansión decimal de p; uno puede a continuación proceder a definir un número n como la posición menor en la que aparece el primer caso, y 0 si no aparece.
Oponiéndose a esta visión platonista, Brouwer restringe el conocimiento matemático a las construcciones mentales y demostraciones que se pueden saber. Para poder decir que sabemos que una proposición P es verdadera necesariamente tenemos que tener una demostración de ella; para saber que su negación ¬P lo es, necesitamos de una refutación de P, i.e., una demostración de que P nos lleva a una contradicción.
En el ejemplo que estamos considerando, para la proposición que afirma que la secuencia 123456789 aparece en alguna posición de la expresión decimal de p, no hay por el momento, ni una prueba ni una refutación; por tal razón no hay una construcción del número n.
Las posturas logicistas y formalistas aceptan la ley del tercero excluido Pv¬P para cualquier proposición P (incluidas las que se refieren a totalidades infinitas). En otras palabras, se acepta que o bien P es verdadera, o bien P es falsa. Y esto no puede aceptarlo, así en general, un intuicionista, puesto que no puede estar seguro de poder encontrar para toda P, o una prueba o una refutación.[7]
Otro ejemplo: Todo número real del intervalo cerrado [0,1] tiene una representación r=0.a1a2a3… (donde cada an=0,1,…,9). Si P(n) es la propiedad "an es menor que 9", uno tiene que admitir: o bien existe una n tal que P(n), o bien, para toda n, P(n) falla. (ley Z).
La ley lógica Z se reduce, en este caso, a la proposición "o bien r=1, o bien r
es distinto de 1.[8]
Desde luego que la ley lógica Z puede probarse cuando n recorre un conjunto finito de enteros y P(n) es un predicado decidible[9]; Brouwer argumenta que la aceptación de esta ley lógica se basa en una extrapolación injustificada a conjuntos infinitos.
También es digna de notar la recusación intuicionista de
—(x)F(x) ® ($ x) —F(x)
pero es válida para el intuicionista la implicación inversa
($ x) —F(x) ® —(x)F(x) [10]
A partir de Brouwer, al tratar a la lógica como una herramienta de descripción y formalización del razonamiento matemático, es necesario distinguir entre: matemática clásica y matemática intuicionista.
La matemática intuicionista requiere, por un lado, una lógica menos fuerte que la clásica (de la cual se excluyen algunas leyes, e.g. el tercio excluso), y por otro, de un razonamiento más poderoso que cualquier lógica, el razonamiento matemático.
¿Cuál es la naturaleza de la fuerza que se le asocia al razonamiento matemático? Las demostraciones de los teoremas parecen manifestar una forma particularmente potente de persuasión, ¿cómo podemos poseer intuiciones tan profundas de cosas tan grandiosas? -se pregunta Brouwer.
Brouwer se interesó en los fundamentos de las matemáticas; pero en contraste con los estudios "clásicos" de los fundamentos, tales como el de Russell, que pretenden suministrar una definición de los conceptos matemáticos en términos de conceptos lógicos, su tesis es que las matemáticas no tienen ningún fundamento fuera de ella misma. Su propósito fue “llevarnos a apreciar el trabajo del razonamiento matemático, momento a momento, en el sitio donde tiene lugar [la mente humana]".
A la lógica fundada por Frege y Russell se le llamó en un principio lógica matemática porque se le tenía como apropiada para las matemáticas. Después de Brouwer y Heyting se le llamó también lógica clásica como contrapuesta a la lógica intuicionista.
En este sentido, las lógicas modales pueden verse como clásicas, ya que no cambian el significado de las constantes lógicas clásicas; solamente añaden nuevas constantes (los operadores modales de necesario, contingente, posible, imposible, permitido, prohibido, obligatorio, meritorio, indiferente, etc.). Las llamadas lógicas libres son simplemente lógicas clásicas de primer orden (o lógicas modales) sin presupuestos de existencia[11].
La imagen popular del matemático es la de una persona de argumentaciones austeras, objetivas e impersonales en la que no hay lugar para el fanfarroneo o la insinuación, pero el debate que se dio entre las tres grandes escuelas, logicismo, formalismo e intuicionismo -y en particular entre las dos últimas- a principios del siglo 20, desmienten esta idea.
Comparativamente a otros ámbitos académicos, los pleitos en matemáticas son raros, pero cuando se dan, exhiben una ferocidad y longevidad rayana en la locura.
En el conflicto por la fundamentación de las matemáticas sobresalen dos batallas. La primera se dio entre el constructivista Kronocker -que abocaba por un intuicionismo primitivo- y Cantor, el genial creador de la teoría de conjuntos y los números transfinitos, quien hizo uso liberal y profuso de los infinitos actuales y la reductio ad absurdum.
Este primer combate termina cuando Kronocker muere y Cantor pierde la razón. Cantor ya había sufrido crisis mentales con cierta frecuencia pero los últimos diez años de su vida los pasó recluido en hospitales psiquiátricos y clínicas de salud mental.
Al triste y sordo espectáculo del conflicto tenso y cargado entre Kronecker y Cantor habría de seguirle el largo período de relaciones tragi-cómicas entre Luitzen Brouwer y David Hilbert. El debate intuicionismo-formalismo había pasado a ser feudo personal de estos dos gigantes de las matemáticas.
“La tolerancia jamás produjo guerras, la intolerancia ha convertido a la Tierra en una carnicería” -escribió Voltaire, y de ello dan testimonio la violencia, crueldad y ceguera del pleito Hilbert-Brouwer.
El punto final lo puso Hilbert en 1928 con la expulsión de Brouwer del comité editorial de los Mathematische Annalen.
Los Mathematische Annalen (creada en 1868) eran en los años veintes, sin lugar a dudas, la mejor revista de matemáticas; con una reputación sin paralelo. Ser editor de esta revista era una marca de enorme prestigio para cualquier matemático. Tanto Brouwer como Einstein, habían sido editores de ella desde 1915. Hilbert fue editor en jefe y director.
Albert Einstein caracterizó las tragicómicas relaciones entre Hilbert, Brouwer y sus respectivos seguidores como Frosch-Mäusekrieg: (la batalla de los sapos y los ratones) y a Brouwer como “caso clásico de la fina línea divisoria que separa a la genialidad de la locura”.
El término Frosch-Mäusekrieg lo toma Einstein de un antiguo poema griego, la Batrachomachia (c. 500 a.C.) de autor desconocido y de una posterior versión alemana medieval del mismo poema que debemos a Rollenhagen.
Cuando la guerra Hilbert-Brouwer se calentó, tanto los aliados del uno (Max Born et al) como los del otro (Blumenthal et al) intentaron ganarse para su causa a Albert Einstein con idénticos resultados. Ninguno tuvo éxito porque Einstein no quiso tomar partido.
En una carta de 1928 al físico Max Born, Einstein le comenta su desacuerdo con la decisión de Hilbert, director de los Mathematische Annalen, de expulsar a Brouwer del consejo editorial de la revista. En la misma carta advierte a su amigo que no se involucrará en el asunto:
Si la enfermedad de Hilbert [Hilbert estaba muy enfermo en 1928] no le diera cierto carácter trágico, esta guerra de tinta sería para mí una de las más divertidas y más exitosas farsas representadas por aquellas gentes que se toman a sí mismas demasiado en serio. Objetiva y brevemente podría decirte que, en mi opinión, creo que a la exagerada influencia que el un tanto lunático Brouwer tiene en la administración de los Annalen, sería posible darle algún remedio menos doloroso que su expulsión del consejo editorial. Esto, sin embargo, sólo te lo digo a ti en privado pues has de saber que no tengo ninguna intención de entrar a competir en esta batalla entre sapos y ratones con otro lance de papel. [Citado por Barrow]
Hilbert tuvo mucho miedo a las ideas de Brouwer -tan radicalmente opuestas a las suyas- y a su furia, y buscó silenciarlo. “Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor creó para nosotros” fue su grito desesperado.
Brouwer tuvo miedo al poder, al rencor y al encono de Hilbert y buscó defenderse atacándolo. Ciertamente quien reivindica la persecución y expulsión de los que disienten de él puede ser realmente temible si tiene los medios para llevar a cabo sus deseos.
Brouwer perdió. En diciembre de ese mismo año, tras haber sido acusado por Hilbert de psicópata, Brouwer es destituido para siempre del consejo editorial de los Annalen.
Expulsado y humillado, Brouwer cae en una grave depresión y pierde todas sus ilusiones y su entusiasmo precisamente cuando su mayor opositor, el programa formalista, se revela como fundamentalmente defectuoso y colapsa.
En ese momento de crisis entra en escena Arend Heyting, su alumno más leal. Su propósito es mantener con vida la causa intuicionista, estudiarla y difundirla. En manos de Heyting, el intuicionismo cae en el formalismo y da lugar a importantes progresos en términos constructivistas en varias áreas de las matemáticas.
La formalización que Heyting hace de la filosofía intuicionista de su maestro en 3 famosos artículos [uno de 1928 y dos de 1930] cambió su curso: los movimientos tendientes a la separación de las matemáticas de la lógica viraron 180 grados y, en consecuencia -e irónicamente-, buena parte de la filosofía brouweriana fue abandonada.
En la actualidad, solo los historiadores han mantenido el interés por el intuicionismo; entre el público culto en general, Brouwer es recordado principalmente por su original enfoque del principio del tercio excluso y del concepto de negación. Su mensaje de una nueva filosofía de las matemáticas ha sido casi olvidado.[12]
A partir de su expulsión de los Annalen, se acentuaron en Brouwer el aislamiento, su negativismo, el delirio de persecución, la intolerancia y los rasgos esquizoides de su personalidad.
En ningún sentido estoy atacando a la lógica. Lo único que estoy diciendo es que el peligro de enloquecer reside en la razón, no en la imaginación.
Yo no sé por qué extraña razón tenemos la perversa idea de que imaginar significa fantasear, verbo que, en nuestro confuso vocabulario, quiere decir alejarse de la realidad. Cuando en verdad sucede todo lo contrario, quien no imagina, encadena su razón y, por lo tanto, desconoce para siempre la realidad que le rodea.
María Elena Madrid aconsejaba en su última videoconferencia el uso de narrativas para la enseñanza de la filosofía a los niños. El maestro Francisco Serrano le sugirió añadir estudios de caso como eficaz herramienta, sugerencia que fue bien acogida por la expositora. Yo retomo ambas ideas y les ofrezco a los matemáticos y a los lógicos, como post-script al entero episodio de la tragicomedia de Hilbert y Brouwer, la fábula del matemático norteamericano John Hays, “The Battle of the Frog and the Mouse”[13] que es al mismo tiempo narrativa y estudio de caso.
Un cuento como éste, que además es un estudio de caso, se agradece. Nos alerta contra un peligro que en cierta manera nos atañe a todos y nos resulta útil para enseñar a nuestros alumnos a, después de ir para arriba y para abajo de los aspectos teóricos de la lógica, ir también para los lados.
Si mi método les parece malo, permítanme recordarles que los métodos son sólo momentos de un proceso educativo. El método perfecto no existe y jamás existirá. Todos los métodos son igualmente malos y cualquiera es igualmente susceptible de volverse bueno si el maestro lo adapta a las necesidades y carencias propias de sus educandos. Los estudiantes de matemáticas tienen necesidad de las humanidades, de narrativas y de estudios de caso. …En ningún sentido vayan ustedes a pensar que estoy atacando a la lógica. Lo que yo quiero decirles es otra cosa: que la lógica está en todo pero que no todo es lógica.
Maestros y educadores en general buscamos ser y ayudar a otros a ser y sabemos que el postulado socrático “conócete tú a ti mismo” es ineludible. Esto significa que no es posible descargar en los profesores la tarea educacional.
Todo estudiante y todo educador, en sus libros, en sus especulaciones, en sus clases, en su computadora, en sus estudios, siente inmediatamente la exactitud de lo que estoy diciendo: Tienes que conocerte a ti mismo porque el conocimiento no está afuera. No está en la lógica ni en las matemáticas; no está en las ciencias ni en las artes; no está en el libro, ni en el maestro; pero de todo esto tenemos necesidad para alimentar, dentro, el pensamiento nuestro que es la vida nuestra.
De todas esas cosas -incluida la prueba por reducción al absurdo y el tercero excluido- necesitamos para aprender a escuchar dentro de nosotros la voz que nos llevará a responder la perplejidad que Descartes formuló así: Quod vitae sectabo iter? ¿Qué camino de vida eligiré [en busca de una existencia lo más mía posible]?
Conócete a ti mismo porque el conocimiento no está afuera. Dirán ustedes que esto es poco decir en nuestros días pedagógicos, cuando todos sabemos que el mejor maestro sólo interviene ayudando al discípulo para que éste explicite lo implícito, aclare lo obscuro, infiera lo supuesto, aplique lo inferido.
Tan anchuroso y dilatado es hoy el campo de la teoría y la práctica del arte de enseñar que a la carrera de pedagogía le ha seguido en México la creación de la universidad pedagógica y no se teme ahora hablar de Ciencias de la Educación , así, en plural y con mayúsculas.
A este propósito específico no faltará quien prejuzgue que, en un tan moderno Taller de Didáctica de la Lógica como lo es el nuestro, que utiliza las más avanzadas y sofisticadas técnicas de comunicación y educación a distancia, que sus miembros nos valemos del e-mail, del power point, la video conferencia, la página web, los attachments y el “forwardeo” para vernos, oírnos, platicarnos y educarnos (¡Dios mío! yo no soy suficientemente nueva en este mundo para poder decir todo esto sin que se me enchine el cuerpo y se me alborote el alma); no faltará, digo, quien prejuzgue que en un tan moderno Taller, la figura de Sócrates sólo puede ser evocada como mero oportunismo temático o por una personal querencia extemporánea (entre paréntesis, que Sócrates es una personal querencia es verdad; de él me interesan y me sobrecogen tanto sus ideas como su talante).
Esto significaría que las ideas pedagógicas de un educador que vivió hace ya la friolera de 25 siglos en la Atenas de Pericles, guardarían nula o muy escasa relación con lo que ahora, y concretamente en el predio de la lógica, solemos sobreentender cuando escuchamos la palabra “didáctica”.
Pero Sócrates no es simplemente un educador. El helenista Werner Jaeger lo proclama “el fenómeno pedagógico más formidable de la historia de Occidente” y, en actitud defensiva, yo podría comenzar recordándoles una obviedad: la enseñanza de la lógica comprende y presupone muchos cuestionamientos comunes a la problemática educativa en toda su extensión. De suerte que si Sócrates fue educador relevante, algo debe tener que enseñarnos a los profesores de lógica, a los que son, y a los que pretendemos llegar a ser expertos en didáctica de la lógica.
Su ideario pedagógico se aplica a la educación -a secas y sin adjetivos- y por lo mismo a cada uno de las ramas o modalidades en que deseemos dividirla y subdividirla, incluidas, claro está, la enseñanza de la lógica, la enseñanza de la lógica y la enseñanza del principio del tercero excluso.
Pero me atendré a la particularidad temática de este Encuentro para afirmar que la contraseña de “maestro de lógica” le compete a Sócrates en su connotación más plena: ¿acaso dedicó él su vida pública a otra cosa que a la difícil pero gozosa tarea de enseñar a razonar a jóvenes y viejos?
Y ya que estamos hablando de nuestra preocupación por la utilidad de las narraciones para la enseñanza de la lógica, bueno sería dedicar unos instantes a recomendarles a Borges, a Lewis Carrol, a Chesterton, a Poe. En algunos me atrae la manera como está mostrada -para emplear un término wittgensteiniano- la tensión entre la lógica y la literatura, entre el rigor del lenguaje formal y la libertad que el uso del lenguaje de la vida ofrece. En este sentido Carrol es un autor fascinante. En otros me seduce su modo de mostrarnos nuestra racionalidad. En esto Chesterton es maestro.
Como muestra, he aquí el inicio de una narración de Chesterton que podemos ofrecer a nuestros alumnos como un sabroso postre a la lección del principio lógico del tercero excluso:
El profesor Openshaw perdía siempre la calma con un fuerte puñetazo dado sobre cualquier parte si alguien lo llamaba espiritista o creyente en espiritismo. Pero esto, sin embargo, no agotaba sus explosivas facultades porque también perdía la calma con un fuerte puñetazo dado sobre cualquier parte si alguien lo llamaba incrédulo en espiritismo. […] y no había nada que lo complaciese más que sentarse en un círculo de devotos espiritistas y hacer minuciosas descripciones de cómo él había puesto en evidencia a medium tras medium y fraude tras fraude; porque realmente era un hombre de talento detectivesco y claridad de ideas una vez que había fijado su vista en un objeto sospechoso, y siempre la había fijado en un medium como en un objeto altamente sospechoso. […] Sus relatos dejaban a los verdaderos creyentes más bien sin reposo, cuando en realidad era reposo lo que intentaban alcanzar. Pero apenas podían quejarse, ya que los espiritistas no niegan la existencia de los media fraudulentos; sólo que las desbordantes narraciones del profesor parecían indicar que todos los media eran fraudulentos. [“The Blast of the Book” de Gilbert K. Chesterton].
¿Qué pasa con el Profesor Openshaw? ¿Se contradice, niega que ser espiritista o no serlo agota todas las alternativas posibles o simplemente se rehusa afirmar tanto E como no-E mientras no tengamos o una prueba o una refutación?
Este cuento, que en palabras de Borges “simula ser policial pero es mucho más”, al inicio nos propone un enigma a primera vista indescifrable, sugiere después una solución no menos mágica que atroz, y por fin arriba a la verdad que procura ser razonada y razonable.
Para muchos, la lógica ha dejado de ser un placer disfrutable simplemente porque le tienen miedo. Nosotros no estaríamos en un Taller de Didáctica de la Lógica si nada más nos preocupara definir los contenidos de los cursos de lógica. Nos interesan los contenidos pero también la forma, el modo y los estilos para presentarla. Sabemos que la belleza es un asunto de forma, de sintaxis, -en última instancia- de lógica. Queremos promover la belleza porque deseamos que la lógica siga siendo lo que era para Sócrates: un vínculo de comunicación, relación y entendimiento; no de alejamiento.
Así pues, en las clases de lógica a los estudiantes de matemáticas, los maestros cruzaremos los géneros para reafirmar la felicidad del alumno; para decirle de nueva cuenta y de distinta manera cada vez, que la lógica está en todo pero que no todo es lógica y que, gracias a esto, en las clases de lógica caben tanto los Galileos y los Newton como los Chesterton y los Sócrates. La ciencia cabe, la literatura cabe, la poesía cabe, los razonamientos caben y hasta las emociones caben. Y caben porque la lógica no es cosa aparte, porque es cosa muy nuestra. Porque coincide con la vida del hombre, por eso es que tiene valor.
En nuestras clases de lógica démosle vida a la lógica mostrando la lógica en la vida.
Maruxa Armijo
maruxa@servidor.unam.mx
noviembre 2000

  1   2   3

Similar:

To be or not to be o El principio del tercero excluido iconFundamentos de organizaciones empresariales
La jerarquía es el principio inspirador dela estructuración en vertical, y significa la necesidad de crear diferentes niveles ordenados...
To be or not to be o El principio del tercero excluido iconDel dictamen de la comisión de economíA, con proyecto de decreto que adiciona un párrafo tercero al artículo 2O
Votación del dictamen de la Comisión de Economía, con proyecto de decreto que adiciona un párrafo tercero al artículo 2o de la Ley...
To be or not to be o El principio del tercero excluido iconTercero Medio
Crecimiento económico y desarrollo focalizados desde la Economía, la Historia, la Geografía y la Ciencia Política
To be or not to be o El principio del tercero excluido iconIntroducción al curso
El tercero y cuarto factor lo conforman el artista y el público, entendidos éstos en el modelo del proceso de comunicación verbal...
To be or not to be o El principio del tercero excluido iconTomo dcxlix no. 20 México, D. F., miércoles 24 de octubre de 2007
Iii de la Ley del Servicio Profesional de Carrera en la Administración Pública Federal y 7, 18, 32 fracción II, 34, 35, 36, 37, 38,...
To be or not to be o El principio del tercero excluido iconNaciones Unidas
Informe inicial e informes periódicos segundo y tercero presentados por los Estados partes en virtud de los artículos 16 y 17 del...
To be or not to be o El principio del tercero excluido iconCapítulo tercero
En términos culturales, este espacio es parte de uno mayor, sobre todo por sus relaciones con Lípez –Bolivia
To be or not to be o El principio del tercero excluido iconConsejo Nacional para la Cultura y las Artes Convocatoria Pública y Abierta No
Iii de la Ley del Servicio Profesional de Carrera en la Administración Pública Federal y 7, 18, 32 fracción II, 34, 35, 36, 37, 38,...
To be or not to be o El principio del tercero excluido iconÍndice general
Gráfico 1: Representación gráfica del principio de plena competencia
To be or not to be o El principio del tercero excluido iconNormas privadas
Análisis jurídico de su legitimidad a la luz del principio de integración sistémica

Página principal
Contactos

    Página principal



To be or not to be o El principio del tercero excluido

Descargar 90.73 Kb.