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La producción óptima de un monopolio


La producción óptima de un monopolio

La teoría del monopolio puro desarrolla la lógica de como una empresa, que tiene amplio poder para fijar el precio del bien que produce y vende en el mercado, decide cuanto producir, a que precio vender su producto de tal manera de maximizar la rentabilidad económica. Esta teoría también nos da los elementos técnicos para poder efectuar una comparación de un mercado competitivo con un mercado donde las empresas tienen la capacidad de establecer sus precios.

A diferencia de la teoría de la competencia perfecta, la teoría del monopolio puro desarrolla un modelo económico de una sola empresa, que produce un producto, y que existen una gran cantidad de consumidores. Asimismo, esta empresa monopólica dependerá de la demanda del mercado.

En el presente documento, se desarrolla un modelo de monopolio puro, de una sola empresa, un solo producto, una demanda lineal del producto en mención, un grupo numeroso de consumidores, empresa sin regulación ni competencia que afecten sus decisiones sobre cuanto producir y a que precio vender.

Finalmente, el desarrollo del modelo permitirá entender las diferencias más resaltantes entre un mercado monopólico y un mercado competitivo, que normalmente son los polos opuestos del sistema de libre mercado.
La demanda y la producción del monopolio

Un monopolio puro es una sola empresa, que vende un bien, con una gran cantidad de consumidores dispuestos a adquirir sus productos para satisfacer sus necesidades. Esta empresa tendrá la capacidad para fijar el precio y decidir cuanto producir de tal manera de maximizar su rentabilidad económica.

En tal sentido, la función de rentabilidad económica del monopolio puro será la siguiente:

donde, el miembro de la izquierda es la rentabilidad económica, el primero término del miembro de la derecha es el producto de la función de la demanda inversa y la cantidad producida, y el resto de términos son los costos fijos y los costos variables, respectivamente.

Sea la función de demanda lineal del bien que produce el monopolio:

y despejando la variable precio con la finalidad de obtener la función inversa de la demanda, tenemos que:


el gráfico respectivo será el siguiente:



Si el monopolio coloca el bien producido a un precio determinado, espera un cierto consumo, dada la demanda del bien en mención. En el caso que venda una gran cantidad de productos, el precio será bajo, y si produce y vende reducidas cantidades de productos, el precio será alto. A continuación se amplia este análisis.

Se cuenta con dos escenarios. El primero consiste en que el monopolio desea vender su producto a un precio “P1” y decide

colocar “q1” cantidades de su producto; el segundo escenario consiste en que el producto se vende al mismo precio, pero se colocan “q2” cantidades. Si observamos la figura Nº 2, en el primer escenario, dado el precio “P1”, y la demanda “D”, la cantidad demandada “qe” es mayor que la cantidad ofertada “q1”; y en el escenario dos, la cantidad ofertada “q2” es mayor que la cantidad demandada “qe”. Siguiendo el modelo de la oferta y la demanda, se puede plantear que las cantidades producidas son la oferta del monopolio. En el primer escenario, la cantidad (qe) que los consumidores desean adquirir al precio “p1” es mayor que la cantidad ofertada de la empresa “q1”,entonces el precio será presionado para que aumente hasta el valor “p2”. En el segundo escenario, la cantidad ofertada “q2” por la empresa es mayor que la cantidad (qe) que los consumidores desean comprar al precio “p1”. En este caso, el precio tendrá una presión para que disminuye hasta el valor de “p3”.

En este análisis se demuestra que el monopolio no podrá decidir independientemente el precio del producto que vende y la cantidad que colocará en el mercado. Si la empresa decide el precio de manera arbitraria, la producción se adecua a aquella que los consumidores estén dispuestos a consumir; si la empresa decide cuanto producir, el precio será aquel que los consumidores estarán dispuestos a pagar por el bien. En tal sentido se puede establecer que si el monopolio decide el precio, producirá dependiendo del consumo esperado; si decide cuanto producir y vender en el mercado, el precio se ajustará en base a las expectativas, excesos de demanda y de oferta que se puedan presentar en los procesos propios del mercado.

En el análisis anterior se demuestra que el monopolio no puede decidir arbitrariamente las dos variables a la vez, precios y cantidad, porque ambas están ligadas de acuerdo a lo explicado anteriormente.

En adición a lo explicado inicialmente se hace necesario pasar a una segunda fase de análisis donde se debe considerar la estructura de costos y de que manera el monopolio fija el precio y la cantidad a ser producida para obtener la máxima rentabilidad económica.
El Ingreso Total en un Monopolio

El Ingreso Total (IT) de un monopolio se puede definir con la siguiente función:


Se observa que el ingreso total es la multiplicación del precio del producto y de la cantidad producida y vendida. Este ingreso también se puede definir como el ingreso bruto o ingreso por ventas.

Si utilizamos la función lineal de la demanda inversa vista anteriormente:

el ingreso total puede ser estimado al multiplicar dicha función por la variable cantidad “q”:



Como se puede apreciar, esta función del ingreso total es cuadrática, cuya curva se caracteriza por tener un máximo y ser cóncava hacia abajo, tal como se demuestra en la figura Nº 3.



Si derivamos la función del ingreso total “IT” respecto a la cantidad “q”, tenemos que:



Esta derivada es la razón de cambio del ingreso total respecto a las cantidades producidas por la empresa. Esta razón de cambio es el ingreso marginal que es el aumento del ingreso por ventas ante un cambio en la producción y ventas. Al trabajar con derivadas se está asumiendo que los cambios son infinitamente pequeños y tienden a cero. Este enfoque diferencial permite que el análsis cualitativo sea más simple y didáctico.

Se puede llegar a los mismos resultados si se efectua un análisis gráfico y con valores discretos, es decir, que los cambios se den de uno en uno.



El la figura Nº 4, se tiene la función de la demanda y una serie de rectángulos donde el área interna es el valor del ingreso total para cada valor del precio y cantidad. Observamos así que con el precio “p1” y la cantidad “q1” se tiene el ingreso total “IT1”; con el precio “p2” y la cantidad “q2”, el ingreso total será “IT2” y así sucesivamente.

Una característica importante de esta figura es que, partiendo de “p1”, a medida que disminuye el precio, y aumenta la cantidad “q”, las áreas de los rectángulos van aumentando en tamaño hasta el precio ”p4”, y de allí, las áreas comienzan a disminuir. Entonces si las áreas inicialmente aumentan y luego disminuyen, significa que existirá un área máxima, que es, según la figura, el ingreso total número cuatro; IT4 = p4*q4. También se pueden dar el caso en que dos áreas sean iguales aún con diferentes precios y cantidades; por decir, con un precio alto y una cantidad baja se puede tener la misma área que con un precio bajo y una cantidad alta. Si observamos el gráfico, el ingreso total relacionado con el precio “p1” y la cantidad “q1”, puede ser igual al área relacionada con el precio “p7” y cantidad “q7”.

Cuando se forman dos áreas iguales dados dos precios y dos cantidades diferentes, significa que la empresa puede obtener los mismos ingresos por ventas al vender una gran cantidad de productos y una reducida cantidad de éstos. Si observamos la figura Nº 3 , el ingreso total “IT1” se obtiene produciendo “q1” o “q2”. La producción en “q2” ocasionará mayores costos de producción por lo que no será tan rentable para la empresa producir “q2” sabiendo que produciendo “q1” los costos de producción son muchos menores y la rentabildidad económica será mayor.

De este análisis se desprende que la empresa monopólica producirá solamente lo necesario con la finalidad de maximizar sus beneficios.
El Ingreso Marginal: un enfoque con variables discretas y continuas

El ingreso marginal nos da la información sobre el incremento del ingreso total cada vez que se aumenta la cantidad producida.

Efectuando un análisis con variables discretas, es decir, que varían de uno en uno, tenemos que:

aplicando incrementos a la ecuación:



dividiendo la ecuación entre el incremento de la cantidad:

el segundo término del miembro de la derecha es negativo porque los cambios de los precios y las cantidades son en sentido inverso, tal como se explicara anteriormente. Esta ecuación del ingreso marginal nos da la información de que el precio será mayor que el ingreso marginal.

Si analizamos con mayor detalle la ecuación anterior:



la variación en el ingreso total puede analizarse usando el enfoque de las áreas. Asumiendo un cambio en el precio, de “p1” a “p2”, y por tanto un cambio en las cantidades, de “q1”, a “q2”, como se puede apreciar en la figura Nº 5:



tenemos que el ingreso total variará del punto 1 al punto 2 de la siguiente manera:


dividiendo entre Δq = q2 - q1


En esta ecuación, se utiliza el precio “p2” como el precio final y “q1” como la cantidad inicial. Cabe destacar que si el cambio es inverso, es decir, si el precio aumenta y la cantidad disminuye, el precio final sería “p1” y la cantidad final “q2”. Este análisis se sintetiza con la siguiente ecuación de incrementos planteada anteriormente:



Volviendo al análisis con variables continuas, el ingreso marginal, inicialmente tiene un valor positivo y disminuye a medida que la cantidad producida aumenta y el precio disminuye, hasta tener un valor de cero y volverse negativo, debido a que el aumento de la producción hace caer el precio en una mayor intensidad que el valor monetario ganado con el aumento de la producción (ventas).

El ingreso marginal es una ecuación lineal con el mismo intercepto en el eje de los precios que la ecuación de la demanda inversa y con una pendiente que es el doble (en signo positivo) que la pendiente de la ecuación de la demanda y disminuye hasta cruzar el eje horizontal de las cantidades volviéndose negativo. En la figura Nº 6 se puede apreciar la curva de la demanda y del ingreso marginal. Ambas tienen pendiente negativa y parten del mismo punto en el eje vertical de los precios.




La producción óptima del monopolio.

El análisis que se realizó utilizando la figura Nº 1, si bien es cierto nos permite entender como evolucionan los ingresos por ventas para los diferentes precios y cantidades, este análisis deberá ser complementado con la estructura de costos marginales de la


empresa toda vez que se hace necesario su inclusión para la toma de decisiones óptima.

En la figura Nº 7 se puede apreciar la demanda, el ingreso marginal y el costo marginal de la empresa.




Supongamos que la empresa decide colocar su producto a un precio de “p1”, por tanto, los consumidores consumirán “q1”. En este nivel de producción se presenta la siguiente situación: si la empresa produce una unidad más, el ingreso obtenido por la venta de esta unidad adicional será mayor que el costo incurrido en la producción de esta unidad adicional. Este análisis se resume observando las curvas de costo marginal e ingreso marginal en el nivel de producción de “q1”. Sabiendo que la rentabilidad variable es la diferencia del ingreso total y del costo variable, y si ambas variables se incrementan dado el aumento de la producción en una unidad adicional, y teniendo en consideración que en el nivel de producción “q1”, el ingreso marginal es mayor que el costo marginal, la rentabilidad variable aumentará. Matemáticamente tenemos que:



donde “πv” es la rentabilidad variable (no se deduce el costo fijo por ser irrelevante en la toma de decisiones). Como se puede observar en la ecuación anterior, si el ingreso marginal es mayor que el costo marginal, la rentabilidad variable se hace mayor.

En el caso opuesto, en el nivel de producción “q2”, el costo marginal es mayor que el ingreso marginal. En este caso si se aumenta en uno la producción, la rentabilidad variable se hace menor, en cambio si se reduce en uno la producción, la rentabilidad variable aumenta porque, el ahorro que se obtiene al producir una unidad menos es mayor que el ingreso que se deja de obtener por dejar de vender la unidad dejada de producir.

Del presente análisis se plantea que el monopolio fijará un precio de tal manera que la cantidad que los consumidores estén dispuestos a consumir, dado este precio, la empresa no tenga ningún incentivo para aumentar o disminuir la producción. Esta situación se le puede denominar “el equilibrio en la producción de la empresa” porque se obtiene las máxima rentabilidad económica.

SI usamos el modelo gráfico directamente, el problema de la maximización de la rentabilidad económica puede ser enfocada primeramente con la variable cantidad y después con la variable precio. Teniendo conocimiento de la curva de costo marginal y del ingreso marginal, podemos observar en que nivel de producción se igualan estos valores marginales, y dada la demanda del producto, se establece el precio. Sin embargo, las cantidades y el precio se establecen simultáneamente en vista que para cada precio existe un consumo esperado, y por otro lado, para cada cantidad colocada de productos por la empresa, se fijará el precio del mismo a través de una serie de evaluaciones que se realizan en el mercado en cuanto a exceso y déficit de demanda y oferta, tal como se analizó utilizando la figura Nº 1 del presente documento.
Formalización del modelo

La empresa tendrá como objetivo maximizar la siguiente función de rentabilidad económica:


derivando respecto a la variable “q” e igualando a cero con la finalidad de obtener cual es la producción requerida que ocasione la máxima rentabilidad, tenemos que:


Realizando algunos cambios a las ecuaciones tenemos que:



con lo que se demuestra que la máxima rentabilidad económica se obtiene cuando se produce una cantidad de bienes que ocasione que el ingreso marginal sea igual al costo marginal.

Efectuando algunas operaciones:

Sabiendo que la elasticidad precio de la demanda tiene la siguiente fórmula:




y planteando la siguiente ecuación:

donde “z” es el “margen de ganancia” o “mark up” sobre el costo marginal1, se realizan las respectivas sustituciones para llegar a la siguiente ecuación:


donde:


Esta última ecuación relaciona el margen de ganancia con la elasticidad precio de la demanda. Si la demanda tiene una elasticidad precio, digamos de –2, el margen de ganancia tendrá un valor de 1 como coeficiente. Si lo convertimos en porcentaje, tendríamos un margen de ganancia de 100% sobre el costo marginal. Supongamos que el costo marginal es de 10 unidades monetarias, luego tenemos que



en el caso que la elasticidad precio de la demanda es de –5, tenemos que:



en cambio, si la elasticidad precio de la demanda es de –1.2, tenemos que:



Vemos así que mientras la demanda es menos elástica, el margen de ganancia es mayor, y mientras la elasticidad precio de la demanda se aleja del valor unitario, el margen de ganancia es menor. También se puede apreciar que el monopolio no podría fijar su precio si la elasticidad precio de la demanda es unitaria porque el precio sería infinito. Este argumento también se puede demostrar de manera gráfica si nos remontamos a la figura Nº 6. Vemos que el costo marginal se encuentra en el cuadrante Nº 1 y no tiene valores en el cuadrante Nº 2, porque no existen los costos marginales negativos. Luego esta curva es decreciente inicialmente y luego creciente. En tal sentido, al ser creciente, no podría pasar por el punto donde el ingreso marginal tiene un valor de cero, ya que el cruce del costo marginal con el ingreso marginal tendría que ser a la izquierda del punto antes analizado. Si el cruce del ingreso marginal con el costo marginal lo proyectamos de manera vertical hasta la curva de la demanda, esta interseección se dará en la región elástica de la demanda.


En cuanto a la relación que existe entre el margen de ganancia (mark up) y la elasticidad precio de la demanda, podemos replantear la ecuación, desarrollada líneas arriba2:

Vemos así que la relación entre el precio y el costo marginal depende de la elasticidad precio de la demanda


A modo de conclusión

El modelo del monopolio puro, desarrollado en el presente documento, desarrolla la lógica y relaciona las variables más resaltantes que se toman en consideración para que una empresa que tiene poder de fijación de precios actúe de tal manera de obtener la máxima rentabilidad económica. Este modelo es el opuesto al modelo de la competencia perfecta porque parte de situaciones diferentes. Mientras que en el modelo del monopolio, sólo existe una empresa, en el modelo de la competencia perfecta existen muchas empresas. Sin embargo, el modelo del monopolio puede ser ampliado para ser utilizado para el análisis de mercados donde las empresas no sean un monopolio pero tengan la capacidad de fijar el precio del producto que producen y venden en el mercado. Esta variación daría lugar a otro modelo conocido como el de la “competencia monopólica”, que se desarrolla en otro documento.

El principio de la maximización de la rentabilidad económica es similar entre el modelo de la competencia perfecta y el monopolio, porque en ambos modelos, la producción óptima se da cuando el ingreso de la última unidad vendida se iguala el costo incurrido por haber vendido la última unidad adicional. La diferencia en la aplicación de este principio microeconómico es que el ingreso marginal y la conducta del ingreso total difiere en ambos modelos. El modelo del monopolio puro se aplica cuando las empresa tienen capacidad de fijar el precio y el modelo de la competencia perfecta se utiliza cuando las empresas no tienen capacidad de fijar el precio, tal como se explicara anteriormente.

Profesor


Mg. Marco Antonio Plaza Vidaurre


1 En el modelo del monopolio, el precio no es igual que el costo marginal lo que significa que siempre existirá un margen de ganancia sobre el costo marginal.

2 Cuando se reemplaza valores de la elasticidad precio en la ecuación, debe considerarse el respectivo signo negativo. También debe considerarse que el monopolio maximiza su rentabilidad económica (iguala el costo marginal al ingreso marginal) en la región elástica de la demanda, tal como se demostró en el análisis relacionado a la figura Nº 3


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