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Instituto de Economía Energética


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Rendimientos a escala de rayo

El caso de las industrias uniproducto se definió un indicador de rendimientos a escala de la siguiente manera: S = 1/ EC(X) , X = CMe/CMg (Ver expresión (3)). Para definir un indicador para los rendimientos a escala de rayo en el caso de las industrias multiproducto se utiliza un procedimiento semejante. En efecto, sea C(X) = C( X0) donde X0 = (X10, X20, ….. ,Xn0) es un vector de producción con niveles constantes; así definida C(X) representa una función de costo total de rayo ya que traduce la evolución del costo total para una composición constante de la producción, es decir sobre un rayo de la hipersuperficie de la función general de costos totales. De acuerdo con esa definición del costo total de rayo, las variaciones de los niveles de producción (con composición constante) dependen únicamente del valor del escalar  (  0): entonces puede calcularse la elasticidad del costo total con respecto al valor de  :


EC(X), = d C(X) / C(X) d  /  = i Xi0 CMgi  / C(X) 
En consecuencia, recordando la definición del costo medio de rayo (expresión (8)), puede definirse el indicador
(11) SR = 1 / EC(X), = CMeR / i Xi0 CMgi = C(X) / i Xi CMgi

Entonces habrá rendimientos a escala de rayo crecientes (decrecientes) sí y solo sí es SR > 1 (SR < 1); tales rendimientos serán constantes en el caso en que SR = 1. Obsérvese que, al igual que en el caso de las industrias uniproducto, la existencia de rendimientos crecientes sobre un rayo de la función de costos (SR > 1) implica que los costos medios de rayo (CMeR) son decrecientes con los niveles de producción (con composición constante) y que los ingresos que se derivarían de la producción valuada a los costos marginales de producción crecen menos que los costos totales de producción.


A pesar de constituir una extensión directa de los resultados obtenidos en el caso de las industrias uniproducto, el concepto de economías de escala sobre un rayo presentan el serio inconveniente se tener que suponer constante la composición de la producción. En las industrias multiproducto, los cambios de producción van acompañados normalmente por variaciones en la composición de la producción.



  • Rendimientos a escala específicos de producto

Admitiendo la posibilidad de variaciones en la composición de la producción, es posible avanzar en la caracterización de una función de costos multiproducto introduciendo las nociones de rendimientos a escala específicas de cada producto. Se trata de examinar el comportamiento de la función de costos cuando se incrementa el nivel de producción de uno de los bienes, manteniendo constante la producción de los restantes.


Se puede verificar fácilmente que los rendimientos a escala específicos de un producto i están estrechamente vinculados con el comportamiento de la correspondiente función de costo incremental medio (CIMei). En efecto, en la situación mencionada, las variaciones del costo total C(X) = C(X10, X20,….,Xi ,….,Xn0) dependen únicamente de las variaciones de Xi (la producción del bien i-ésimo) y, en consecuencia, los rendimientos a escala habrán de depender del signo de las variaciones del CIMei cuando cambia el nivel de producción X i :
siendo C(X) = C(X10, X20,….,Xi ,….,Xn0)
entonces, dC(X) = [ C(X)/ Xi] dXi ya que dXk0 = 0 para todo k  i (Xk0 constantes)
luego dC(X) / dXi = Cmgi y por tanto EC(X) , X i = [dC(X)/ C(X)]/[ dXi /Xi] = Cmgi [Xi/ C(X)]
pero, si C(X0-i) = C(X10, X20,….,Xi-10, 0, Xi+10 ,….,Xn0) es el costo total de producir todos los demás bienes en las cantidades dadas y nada del bien i-ésimo, es claro que
EC(X) , X i = Cmgi [Xi/ C(X)] < Cmgi { Xi/[ C(X) - C(X0-i)]} = Cmgi /{[ C(X) - C(X0-i)] /Xi} = Cmgi / CIMei
entonces, puesto que CIMei >Cmgi (CIMei Cmgi) si el CIMei es decreciente (creciente o constante), resulta que
EC(X) , X i < 1 si CIMei decreciente y EC(X) , X i  1 si CIMei creciente o constante
Como consecuencia de todo lo expresado, puede definirse un indicador del tipo usual para los rendimientos a escala específicos de cada producto por medio de la expresión

(12) Si = CIMei / Cmgi

De este modo, los rendimientos a escala específicos del producto i-ésimo serán crecientes, constantes o decrecientes según que sea respectivamente Si>1, Si=1 o Si<1.
Tanto la noción rendimientos de rayo como aquella de rendimientos específicos de cada producto aportan indicaciones valiosas sobre el comportamiento de una función de costos. Por ejemplo si se considera una empresa telefónica que atiende simultáneamente el mercado de llamadas locales como aquellas de larga distancia, se tendría un caso claro de una actividad multiproducto (las llamadas locales y las de larga distancia constituyen dos servicios diferentes); en tal caso, SR estará indicando el tipo de rendimientos que se tendrían si los dos tipos de servicios de expanden en la misma proporción, mientras que Si (i =1,2) los rendimientos a escala si solo se incrementara uno de los dos tipos de servicio mientras que el otro permanece en niveles estables.
Sin embargo, ambos conceptos proveen tan solo una caracterización parcial o local de la superficie de costos. Una noción de rendimientos más comprehensiva es aquella de rendimientos a escala globales que, según se verá en la siguiente sección, incluye de algún modo a todas las nociones de rendimientos a escala definidos previamente.


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