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- Las características de las funciones de costo


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1 - Las características de las funciones de costo
En el análisis de las funciones de costo se considerarán sucesivamente los caso de industrias que producen un único producto y de aquellas que producen y ofrecen simultáneamente un conjunto múltiple de bienes. Este segundo caso no se refiere a aquellas actividades que presentan necesariamente la característica de producción conjunta (tal como ocurre con la actividad de refinación de petróleo), sino a las industrias donde las empresas pueden optar por especializarse en la elaboración de un único producto o por diversificar su producción abarcando una cierta gama de bienes de la industria (por ejemplo, en el caso del transporte ferroviario una empresa puede especializarse en servicios de carga o puede realizar simultáneamente transporte de pasajeros y de cargas).



  1. - Funciones de costo en las industrias uniproducto

Sea



  1. C = C(X)

la función de costo total de largo plazo (20) típica de una industria uniproducto, siendo la misma continua y diferenciable; en tal caso, los costos medios y marginales pueden definirse de manera usual: CMe = C(X)/X y CMg = C(X)/X.

a. La elasticidad de la función de costo y los rendimientos a escala
En el caso de las industrias uniproducto el tipo de rendimientos a escala pueden establecerse atendiendo al valor de la elasticidad de la función de costo total con relación a la cantidad producida; es decir
(2)
Entonces si se define el indicador



resulta claro que: S > 1 indica la presencia de rendimientos crecientes a escala (a una variación relativa en al cantidad producida le corresponde una variación menos que proporcional en el costo total : Ec(x),x < 1); S = 1 indica rendimientos constantes a escala y S < 1 rendimientos decrecientes a escala.

b. Los rendimientos crecientes y las funciones de costo subaditivas
La subaditividad de las funciones de costos es una característica muy importante para caracterizar la estructura de una industria y que está estrechamente vinculada a los rendimientos crecientes y al concepto de monopolio natural.
Definición : Una función de costo total C = C(X) es subaditiva en BB = (X : X  R+, X  X0)  (conjunto de niveles de producción) sí y solo sí, para todo X B se verifica que C(X) > i C(Xi), siendo i Xi = X
A partir de la definición precedente, se desprende que la existencia de rendimientos crecientes a escala constituye una condición suficiente para la subaditividad de la función de costos; sin embargo esa condición no resulta necesaria, tal como se mostrará seguidamente.
En efecto, si C = C(X) presenta rendimientos crecientes a escala, puede afirmarse que para todo número real  tal que 0 <  < 1 se verifica que iC(X) < C( X); sean entonces i (i =1,2,…,n) números reales tales que 0 < i < 1 para todo i, ii = 1 y Xi = i X, luego
i C(X) < C(i X) = C(Xi) para todo i = 1,2,…..,n
y, sumando sobre i la expresión anterior se deduce que
i C(XI ) > i i C(X) = C(X) ii = C(X)
con lo que queda demostrado que C = C(X) es una función de costos subaditiva.
Para demostrar que la presencia de rendimientos crecientes a escala no constituye una condición necesaria para que una función de costos sea subaditiva basta con un con un ejemplo. Sea entonces la siguiente función de costos totales




F1 + a X si X  X*

(4) C(X) =




F1 + F2 + a X si X > X*


con F1 > F2
Puede mostrarse fácilmente que la función (4) es subaditiva; en efecto, sean i (i =1,2,…,n) números reales tales que 0 < i < 1 para todo i, ii = 1 y Xi = i X , entonces si X  X*,
C(X) = F1 + a X y C(Xi) = F1 + a Xi para todo i = 1,2,…..,n
luego, i C(Xi) = n F1 + a X
y, en consecuencia, es C(X) < i C(Xi), con lo que la función (4) es subaditiva para todo X  X*.
Si por el contrario, es X > X*, habrá k (0  k  n) de las producciones Xi tales que Xi > X* , mientras que n-k de las mismas serán tales que Xi  X*; entonces se tendrá que
C(X) = F1 + F2 + a X < n F1 + k F2 + a X = i C(Xi)
con lo cual, C(X) es subaditiva para todo nivel de producción. Por otra parte, como es sabido, si C(X) exhibiera rendimientos crecientes a escala para todo X, debería ocurrir que el CMe sea decreciente en todo el campo de variación de X. Sin embargo en el caso de la función de costo total (4), la curva de CMe tendría una forma semejante al que se representa en la Gráfica 1.

Gráfico 1


CMe


a

X* X
Es decir que C(X) no presenta rendimientos crecientes a escala para todo nivel de producción.


En otros casos, las funciones de costo pueden presentar subaditividad solo en ciertos rangos de producción. Tal es el caso de la siguiente función de costos:

(4’) C(X) = F + a X2 F>0, a>0


Obsérvese que, en tal caso, la función de costo medio (CMe) tiene la forma indicada en el Gráfico 1’
Gráfico 1’

En esa función de costo, la condición de subaditividad se verifica en el rango de producción (0, ) y en el intervalo (, ) existen rendimientos decrecientes.

En suma se tiene que:




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