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Apéndice al ANEXO del Capítulo III: Determinación del costo de agotamiento


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Apéndice al ANEXO del Capítulo III: Determinación del costo de agotamiento

de un recur­so no renovable

1. El planteo de Hotelling
Hotelling plantea el problema del costo de agotamiento de un recurso natural en el contexto del modelo de competencia perfecta (con todas sus hipótesis) y desde la perspectiva de un productor privado que se plantea como objetivo de maximización de sus beneficios netos actualizados, atendiendo a la restricción del agotamiento físico del recurso.
Es decir,

máximo V (x)

(1)

sujeto a


p(t): precio del bien

x(t): cantidad producida

c(t): costo de extracción

i: tasa de interés de equilibrio

R: volumen total de reservas

La solución del problema (1) es una trayectoria óptima de producción. Matemática­mente se trata de un problema de control óptimo o de cálculo de variaciones. Definiendo la función de la producción acumulada:


con G(0) = 0 y g(N) = R
y derivando con respecto a t se tiene
g'(t) = x(t)
Entonces el problema (1) puede expresarse como la maximización de la función de Lagrange

39
Si se designa con F al integrando de (2):



40
La solución del problema (1) se obtiene por medio de las ecuaciones de Euler-Lagrange:


41

42
En este caso son:

43
y


44
de (4) se deduce que constante (puesto que su derivada respecto de t es cero).


Entonces de (3) se deduce que:

45
Es decir que el productor obtiene el máximo beneficio neto total produciendo de modo tal que el beneficio marginal actualizado para cada fecha t sea constante.


Esto es intuitivamente claro ya que si en una fecha cualquiera t0 el productor obtuviera un beneficio marginal actualizado menor que en otra fecha cualquiera t1, reduciría su producción en t0 y la incrementaría en t1 hasta que ambos beneficios actualizados sean iguales (recuérdese que dentro del modelo de competencia perfecta se supone que -en este caso para cada t- los costos marginales de producción son crecientes).
En t = 0, la expresión (5) se convierte en:

46
es decir que puede ser interpretado como el beneficio neto del productor en el momento t = 0, de modo tal que el beneficio marginal en cualquier fecha t, , puede expresarse como:


t = 0, 1, ..., N
De modo tal que el teorema de Hotelling también puede expresarse diciendo que el beneficio neto marginal o valor de agotamiento del recurso debe crecer en el tiempo a una tasa igual a la tasa de interés de equilibrio (igual a la tasa social de descuento):

49
La expresión (5) puede escribirse también del siguiente modo:


50

Es decir que el costo marginal (61) de un bien producido a partir de un recurso agotable está compuesto por una parte por el costo marginal de extracción y por otra por el valor de agotamiento (de escasez) del recurso.




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